16.3 Significado de la desviacion estandar. La distribucion normal

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.

La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada por

donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado valor en una medida . Obviamente

puesto que es seguro (probabilidad 1) obtener un valor cualquiera cuando se mide una magnitud.

Figura: Función de densidad de una distribución normal de media 0 y desviación estándar 1

La función de densidad de la distribución normal tiene el aspecto reflejado en la figura 1. Recibe también el nombre de campana de Gauss debido a su forma. Está caracterizada por dos parámetros: media y desviación estándar. La media es el valor que con mayor probabilidad aparecerá en una medida. La desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que es la campana de Gauss correspondiente. Una distribución muy cerrada se corresponde con una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la distribución es abierta, la desviación estándar es grande.

Una de las propiedades de la distribución normal es que la probabilidad que encierra en el intervalo

es del 68.3 % aproximadamente. Es decir, es de esperar que el 68.3 % de las medidas de una magnitud estén comprendidas en ese intervalo. Dicho de otra forma, si medimos una magnitud un número grande de veces, el 68.3 % de los valores obtenidos estarán comprendidos en el entorno de una desviación estándar en torno a la media. La probabilidad se amplía al 95.4 % y al 99.7 % si consideramos los intervalos y
respectivamente.
El error expresado por la desviación estándar tiene por tanto un significado probabilístico: hay una probabilidad del 68% de que una medida esté en el entorno de una desviación estándar alrededor de la media.
La distribución normal aparece con frecuencia en las medidas de magnitudes, pero no siempre. La distribución de una serie de medidas se aproxima a una normal siempre y cuando la fuente de error sea la superposición de muchas pequeñas causas independientes. Si hay una o varias causas de error predominantes o si las causas de error no son independientes, se dice que las medidas presentan un sesgo, y la distribución puede muy bien ser otra. Es muy frecuente encontrar distribuciones de medidas no simétricas, con dos o más máximos, etc.
Conviene insistir finalmente en que no es posible determinar la media y la desviación estándar de una distribución, sino solamente estimarlas.