16.5 Propagacion de Errores

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos, y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números con los que se opera.

Figura: Representación gráfica de la superficie de un cuadrado en función de su lado. La relación entre el error del lado (ex) y el error de la superficie (ey) viene dado por la pendiente de la curva, es decir, por la derivada

Consideremos un ejemplo sencillo para ilustrar este tema. Supongamos que se mide el lado (x) de una parcela de terreno cuadrada, y a partir de esta medida quiere obtenerse su superficie (y). La medida del lado llevará aparejada un error, que puede ser de origen accidental, instrumental o combinación de ambos. Admitamos que el lado mide 8 m y que el error es de 1 m. El valor de la superficie es por tanto de 64 m2, y estamos interesados en estimar su error. En la figura 2 se ha representado la superficie en función del lado. El error en la medida del lado puede interpretarse como el radio de un entorno alrededor del valor nominal, en cuyo interior estará el valor del lado con una determinada probabilidad. Si proyectamos este entorno sobre la curva obtendremos otro entorno en el eje de ordenadas que representa el error de la superficie. Inspeccionando la figura llegamos a la conclusión de que el error de la superficie es de algo más de 15 m2. En una medida de precisión normal, el error es lo suficientemente pequeño como para poder sustituir la curva por la recta tangente a la curva. La relación entre el error de y y el error de x será entonces la pendiente de la curva en el punto de interés. Es decir, la relación entre el error del lado y el error de la superficie es la derivada de la función:

En nuestro caso: dy/dx=2x . Como el valor del lado es 8, el error de la superficie (y) es 16 veces el error del lado, como ya habíamos estimado gráficamente.

En un caso más general tendremos dos o más variables en lugar de sólo una. Por ejemplo, si la parcela anterior es rectangular en vez de cuadrada, la superficie es función de dos variables: la base (x) y la altura (y). La medida de cada una de estas dos variables tendrá un cierto error, que se propagará al valor de la superficie: S=x.y. La contribución del error de cada lado al error de la superficie vendrá dado por una ecuación similar a la 11. Parece lógico pues que el error total de la función S sea la suma de las contribuciones de cada una de las variables, es decir:

Se ha sustituido la derivada total por derivadas parciales. Se ha tomado el valor absoluto de cada término para evitar que unas derivadas positivas puedan compensarse con otras negativas.
Es importante tener presente que esta expresión es válida sólo en los siguientes supuestos:
El error de cada variable es mucho menor que la propia variable.
Las variables son independientes en el sentido estadístico del término. Quiere esto decir que el valor de una de ellas no afecta en absoluto al valor de la otra. Por ejemplo, la estatura de una persona y su peso no son variables independientes. Si medimos el peso y la estatura de un gran número de personas llegaremos a la conclusión de que generalmente las personas más altas pesan también más.
La aplicación de la ecuación 12 permite calcular el error de una suma, producto, etc de dos variables. Si tenemos una función de n variables: z=f(x1, x2, ....,xn) es fácil generalizar la ecuación anterior: